以下の記事はMedium上のDatafrens.sgの出版物から取られています。ChatGPT 4.0を使用して日本語に翻訳されました。
名前の通り、ベータ二項分布は二項分布の姉妹（または兄弟）分布です。つまり、ベータ二項分布の概念は二項分布と非常に密接に関連しています。ただし、両者には一つの大きな違いがあります。
以前の議論では、最初の19回がすべて赤いリンゴだった場合、20回目に緑のリンゴを選ぶ確率について言及しました。各ラウンドで緑のリンゴを選ぶ確率は非常に低くなります。なぜなら、選ばれたリンゴのほとんどが赤だったからです。置換を伴うピッキングで、成功（緑のリンゴを選ぶこと）の総数をピッキングの総数と比較しています。つまり、ピッキングの回数に関係なく、緑のリンゴを選ぶ確率は常に同じです。
連続して2つの緑のリンゴを選ぶ確率はどうでしょうか？この場合、その確率はさらに低くなります。1つの緑のリンゴを選ぶのが難しいので、2つの緑のリンゴを選ぶことはなおさらです。ここで、ベータ二項分布の出番です。
ベータ二項分布の概念は、各試行における確率が変動することにあります。2つの緑のリンゴを連続して選ぶ場合、2つ目の試行の確率ははるかに低くなります。
二項分布では、各ピッキングの確率が一定であるのに対し（例えば置換を伴う場合）、ベータ二項分布は「置換を伴わない」場合を扱います。置換を伴わずにリンゴを選ぶと、確率は変動します。
臨床試験では、各患者の薬の服用に対する遵守度は異なります。また、各患者の病気治癒の成功率も異なります。先ほどのリンゴのピッキングの例のように、各患者をリンゴのように扱うと、各患者の病気治癒の確率を説明するためにベータ二項分布が使用できます。
リンゴのピッキングの例は簡略化した説明に過ぎません。ベータ二項分布は連続するイベントの仮定を必要としません。連続するイベントについて言及したのは、成功の確率がどのように変化するかを説明したかったからです。
まとめると、二項分布とベータ二項分布は似ていますが、一つの大きな違いがあります。二項分布では、全てのイベントで成功の確率は一定です。一方、ベータ二項分布では、イベントごとに成功の確率が変動します。
